Phương pháp giải
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Áp dụng định lí Py – ta – go
Giải chi tiết
Đặt \(HC = x\left( {x > 0} \right)\), khi đó \(BC = x + 5\)
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, ta có:
\(A{C^2} = HC.BC\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {6^2} = x.\left( {x + 5} \right)\\ \Rightarrow {x^2} + 5x - 36 = 0\end{array}\)
Ta có: \(\Delta = {5^2} - 4.\left( { - 36} \right) = 169 > 0,\sqrt \Delta = 13\)
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 5 + 13}}{2} = \,4\,\,\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{ - 5 - 13}}{2} = - 9\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Khi đó, \(BH = 4cm;BC = 4 + 5 = 9cm\)
Tam giác ABC vuông tại A, ta có:\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (định lý Py – ta – go)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{B^2} = B{C^2} - A{C^2}\\ \Leftrightarrow A{B^2} = {9^2} - {6^2}\\ \Leftrightarrow A{B^2} = 45\\ \Rightarrow AB = 3\sqrt 5 \,\left( {cm} \right)\end{array}\)
Diện tích tam giác ABC là: \(S = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.3\sqrt 5 .6 = 9\sqrt 5 \,\left( {c{m^2}} \right)\)