• Tìm kiếm

Lý Thuyết Và Bài Tập Về Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Lớp 10 - VUIHOC

avatar
Admin
02:01 01/11/2024

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là dạng toán điển hình của chương trình THPT. Đây là phần kiến thức từ lớp 9 nhưng khi lên lớp 10 thì dạng này phức tạp hơn, các dạng bài ứng dụng thực tế nhiều hơn và đòi hỏi các em thực sự hiểu về nó. Trong bài viết này, VUIHOC sẽ tổng hợp các lý thuyết và dạng toán điển hình của bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

1. Định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là phần kiến thức nền rất quan trọng mà học sinh THPT cần phải nắm chắc từ lớp 10. Theo định nghĩa, bất phương trình bậc nhất hai ẩn có một trong các dạng sau đây:ax+by+c<0

ax+by+c>0

ax+by+c\leq 0

ax+by+c\geq 0

Trong đó: a, b, c là số cho trước thỏa mãn điều kiện a^{2}+b^{2}\neq 0, x và y là các ẩn số. 

Nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn được định nghĩa như sau:

Nếu có cặp số \left ( x_{0};y_{0} \right) thỏa mãn ax_{0}+by_{0}+c < 0, khi đó \left ( x_{0};y_{0} \right ) được gọi là 1 nghiệm của bất phương trình ax+by+c<0. Đối với các bất phương trình ax+by+c>0, ax+by+c\leqslant 0, ax+by+c\geqslant 0 định nghĩa nghiệm tương tự.

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình học tập THPT vững vàng

2. Miền nghiệm của bất phương trình 2 ẩn và cách biểu diễn

2.1. Định nghĩa 

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy có tọa độ là nghiệm của bất phương trình 2 ẩn được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

2.2. Định lý

Cho đường thẳng (d): ax+by+c=0 chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành 2 nửa mặt phẳng sao cho một trong 2 nửa mặt phẳng ấy gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn ax+by+c>0, nửa còn lại gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn ax+by+c<0. Từ đó, ta suy ra:

Nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa M (x_{0},y_{0}) là miền nghiệm của bất phương trình ax+by+c>0 (hay ax+by+c<0) nếu M (x_{0},y_{0}) là nghiệm của bất phương trình đó.

2.3. Cách biểu diễn miền nghiệm

Để xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có cách làm sau đây:

  • Bước 1: Vẽ (d): ax+by+c=0

  • Bước 2: Xác định 1 điểm M (x_{0},y_{0}) sao cho M không nằm trên (d)

Trong bước 2 này ta cần lưu ý 2 trường hợp:

  • Trường hợp 1: Khi ax_{0}+by_{0}+c<0 thì lúc đó nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M được gọi là miền nghiệm của ax+by+c<0.

  • Trường hợp 2: Khi ax_{0}+by_{0}+c>0 thì lúc đó nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M được gọi là miền nghiệm của ax+by+c>0.

Lưu ý:

  • Khi biểu diễn miền nghiệm, đối với các bất phương trình có dạng ax+by+c\leqslant 0 hoặc ax+by+c\geqslant 0 thì khi đó miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ.

  • Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

Cùng xét ví dụ biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau đây:

Ví dụ: Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình sau: 2x-y\leqslant 3

Giải:

Vẽ đường thẳng \left ( \Delta \right ) có 2x-y=3

Xét thấy c=3 > 0 nên miền nghiệm của bất phương trình 2x-y\leqslant 3 là nửa mặt phẳng bờ \left ( \Delta \right ) có chứa gốc tọa độ.

Miền nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn

3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Khi học về bất phương trình bậc nhất hai ẩn, học sinh không thể bỏ qua phần kiến thức nâng cao hơn, đó là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là biểu thức bao gồm 2 hay nhiều các bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình xuất hiện trong hệ thì tập hợp các điểm đó được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Ta cũng có thể hiểu miền nghiệm của hệ chính là giao các miền nghiệm của những bất phương trình thành phần trong hệ.

Để xác định được miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, học sinh sử dụng phương pháp biểu diễn hình học như sau:

  • Bước 1: Xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ và gạch bỏ miền còn lại

  • Bước 2: Sau khi đã xác định các miền trong hệ, miền mà không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho.

Học sinh cùng VUIHOC xét ví dụ sau đây để hiểu hơn về cách xét bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Ví dụ (Toán 10 Đại số trang 97 SGK): Biểu diễn hình học miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau đây:

\left\{\begin{matrix} 2x - y \leq 3\\ 2x + 5y \leq 12x + 8 \end{matrix}\right.

Hướng dẫn giải:

- Ta có:

\left\{\begin{matrix} 2x - y \leq 3\\ 2x + 5y \leq 12x + 8 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x - y \leq 3\\ -2x + y \leq \frac{8}{5} \end{matrix}\right.

Vẽ các đường thẳng:

(d1): 2x - y = 3 hay y = 2x - 3

(d2): -10x + 5y = 8 hay y = 2x + \frac{8}{5}

Lấy điểm O (0; 0) ​​​​​​, ta thấy điểm O đều không thuộc 2 đoạn thẳng trên và khi thay 0 vào phương trình ta có 2.0 - 0 \leq 3 và 2.0 + 5.0 \leq 12.0 + 8 nên phần nằm trong được giới hạn của 2 đoạn thẳng trên (bao gồm cả điểm O) là nghiệm của hệ bất phương trình trên.

4. Một số bài tập về bất phương trình bậc nhất hai ẩn

4.1. Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Đối với các bài toán xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, các em học sinh cần làm theo các bước đã nêu ở mục 2.3. Để rõ hơn về cách áp dụng giải một bài toán thực tế như thế nào, các em học sinh cùng theo dõi các ví dụ dưới đây nhé!

Ví dụ 1: Tìm tập nghiệm theo hình học của bất phương trình sau: -3x+2y > 0

Giải:

Bài tập ví dụ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 2: Cho hệ bất phương trình sau, biểu diễn hình học tập nghiệm:

Bài tập ví dụ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Tham khảo ngay bộ tài liệu tổng hợp kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán

4.2. Vận dụng vào bài toán kinh tế

Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn còn được ứng dụng rất nhiều vào các bài toán kinh tế. Xét ví dụ mẫu sau đây để hiểu hơn về cách giải các bài toán ứng dụng thú vị nhé!

Ví dụ 1: Hai loại sản phẩm I và II được sản xuất ra từ ba nhóm máy A, B, C. Khi sản xuất một đơn vị sản phẩm, mỗi loại phải dùng lần lượt các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được dùng cho trong bảng sau:

Bài toán vận dụng bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Một đơn vị sản phẩm I lãi 3 nghìn đồng.

Một đơn vị sản xuất II lãi 5 nghìn đồng. 

Yêu cầu lập kế hoạch sản xuất sao cho tổng số tiền lãi đạt được cao nhất.

Giải: 

Gọi x là số đơn vị sản phẩm loại I, y là số đơn vị sản phẩm loại II sản xuất ra.

Như vậy tiền lãi có được là L = 3x + 5y (nghìn đồng).

Theo đề bài: Nhóm A cần 2x + 2y máy;

Nhóm B cần 0x + 2y máy;

Nhóm C cần 2x + 4y máy;

Vì số máy tối đa ở nhóm A là 10 máy, nhóm B là 4 máy, nhóm C là 12 máy nên x, y phải thỏa mãn hệ bất phương trình:

\left\{\begin{matrix} 2x + 2y \leq 10\\ 2y \leq 4\\ 2x + 4y \leq 12\\ x, y \geq 0 \end{matrix}\right. (1)

Khi đó bài toán mới hình thành: trong các nghiệm của hệ bất phương trình (1) thì nghiệm (x=x_{0};y=y_{0}) nào cho L = 3x + 5y lớn nhất?

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) là ngũ giác ABCDE tính cả miền trong.

Hình vẽ minh họa bài toán vận dụng bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Xét: L đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác ABCDE.

Tính giá trị của biểu thức L = 3x + 5y tại các đỉnh. Ta được:

Đỉnh A(0;2), L = 10

Đỉnh B(2; 2), L = 16

Đỉnh C(4; 1), L = 17

Đỉnh D(5; 0), L = 15

Đỉnh E(0; 0), L = 0

Do đó, L = 3x + 5y lớn nhất là 17 (nghìn đồng) khi: x = 4; y = 1

Kết luận: Để có tiền lãi cao nhất, nhà máy cần sản xuất 4 đơn vị sản phẩm loại I và 1 đơn vị sản phẩm loại II.

Ví dụ 2: Có 1 xưởng sản xuất 2 loại sản phẩm, mỗi cân sản phẩm loại I cần 2 cân nguyên liệu và 30 giờ sản xuất, mức lợi nhuận đem lại là 40000 đồng. Mỗi cân sản phẩm loại II cần 4 cân nguyên liệu và 15 giờ sản xuất, mức lợi nhuận đem lại là 30000 đồng. Xưởng có 200 cân nguyên liệu và 120 giờ làm việc. Hỏi giám đốc của xưởng nên cho sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu cân để có mức lợi nhuận cao nhất?

Hướng dẫn giải:

Gọi x (x\geq 0) là số cân mà loại I cần sản xuất, y (y\geq 0) là số cân loại II cần sản xuất.

Từ đề bài suy ra: số nguyên liệu cần dùng là 2x+4y, thời gian là 30x+15y, mức lợi nhuận thu được là 40000x+30000y.

Theo giả thiết đề bài, xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc => 2x+4y\leq 200 hoặc  x+2y-100\leq 0, 30x+15y\leq 1200 hay 2x+y-80\leq 0.

Từ đó, bài toán trở thành: Tìm x và y thỏa mãn hệ bất phương trình

\left\{\begin{matrix} x + 2y - 100 \leq 0\\ 2x + y - 80 \leq 0\\ x \geq 0\\ y \geq 0 \end{matrix}\right. (*)

sao cho H(x;y)=40000x+30000y đạt giá trị lớn nhất.

Trong mặt phẳng Oxy, vẽ các đường thẳng (d’):x+2y-100=0 và (d’’):2x+y-80=0.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (*) là phần mặt phẳng không được tô màu ở hình vẽ dưới đây.

miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ứng dụng

Giá trị lớn nhất của H(x;y)=40000x+30000y đạt giá trị tại một trong các điểm (0;0), (40;0), (0;50), (20;40).

Ta có: H(0;0)=0, H(40;0)=1600000, H(0;50)=1500000, H(20;40)=2000000

Giá trị lớn nhất của H(x;y)=2000000 khi (x;y)=(20;40)

Vì vậy, xưởng cần sản xuất 20kg sản phẩm loại I và 40kg sản phẩm loại II để có mức lợi nhuận lớn nhất.

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:  

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+  

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích  

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô  

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là toàn bộ kiến thức về bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình đại số THPT. Hy vọng rằng, bài viết đã cung cấp cho các em nguồn kiến thức hữu ích để vận dụng trong công cuộc ôn thi THPT quốc gia của mình. Để ôn tập lại các phần kiến thức Toán thi đại học khác, các em đừng quên truy cập và đăng ký khóa học để học thêm nhiều kiến thức bổ ích nhé!

     Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết